Calcular la integral
\[ \int \sin^4(x) \; dx \]
Reescribe como
\[ = \int \sin^2(x) \sin^2(x) \; dx \]
Usa la identidad trigonométrica \( \sin^2 x = \dfrac{1}{2} (1 - \cos (2 x) ) \) para reescribir como
\[ = \dfrac{1}{4} \int (1 - \cos (2 x) ) (1 - \cos (2 x) ) \; dx \]
Expande el integrando
\[ = \dfrac{1}{4} \int ( 1 - 2 \cos (2) + \cos^2 (2 x) ) \; dx \]
Usa la identidad trigonométrica \( \cos^2 x = \dfrac{1}{2} (1 + \cos (2 x) ) \) para cambiar \( \cos^2 (2 x) \) incluido en el integrando
\[ = \dfrac{1}{4} \int ( 1 - 2 \cos (2 x) + \dfrac{1}{2} (1 + \cos (4 x) ) ) \; dx \]
Simplifica
\[ = \dfrac{1}{4} \int ( \dfrac{3}{2} - 2 \cos (2 x) + \dfrac{1}{2} \cos (4 x) ) \; dx \]
Usa la integral común \( \int \cos (kx) \; dx = \dfrac{1}{k} \sin (kx) + c \) para evaluar la integral dada
\[ \boxed {\int \sin^4(x) \; dx = \dfrac{3}{8} x - \dfrac{1}{4} \sin (2x) + \dfrac{1}{32} \sin (4x) + c} \]
